NÚMEROS ENTEROS

Considerando los números naturales, en los cuales vimos que la adición y la multiplicación eran operaciones cerradas en los naturales, esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos números Naturales, el resultado será otro número Natural. 

Es que vimos que la sustracción no era cerrada,  ya que por ejemplo 4 – 9 no tiene solución en los Naturales. 

Es por esto que se llegó a conformar un conjunto numérico en el cual si, sustracciones como la anterior tuvieran solución, es así que llegamos al conjunto numérico de los Enteros.

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano trabajaron con ellos en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. 

Los Enteros también llamados números con signos, ya que a estos les antecederá un signo, serán, los naturales exceptuando el 0 tendrán delante un signo de (+);  y los nuevos elementos que aparecerán serán los naturales con un signo de (–) delante. 

Los que tienen un signo positivo delante serán llamados Enteros Positivos, y los que tienen un signo negativo serán llamados Enteros Negativos. 

Es así entonces que el Conjunto de los Enteros, a quienes simbolizaremos con la letra Z estarán formados por los Enteros Positivos (Z⁺), los Enteros Negativos (Z^-)  y el 0.

Z: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Enteros en la Recta Numérica

Para hablar de orden y de operaciones en los Enteros, primero deberemos definir Valor Absoluto de un número.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplo: |– 9| = 9 |15| = 15 |0| = 0.

Propiedades Fundamentales

Orden

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». 

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Adición

Cuando sumamos dos enteros de igual signo, el resultado será igual a la suma de los valores absoluto de los sumandos y se mantendrá el signo.

Ejemplo:   (+3) + (+7) = (+10) (– 3) + (– 2) = (–5)

Cuando sumamos dos enteros de signo distinto, el resultado será igual a la diferencia de los valores absoluto de los sumandos y llevará el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo:   (+3) + (–7) = (–4) (+ 3) + (– 2) = (+1)

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, las sumas a + (b + c) y (a + b) + c son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
• Elemento neutro La suma entre cualquier entero a con cero, nos dará el número a: a + 0 = a. 
• Elemento opuesto Para cada número entero a, existe otro entero simbolizado como −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Sustracción

Para restar dos números enteros, lo que se hace es sumarle al minuendo el opuesto del sustraendo. 

De esta manera transformamos la sustracción en una adición y podemos aplicar las reglas que vimos anteriormente.

Ejemplos: 

(+3) – (+7)   =   (+ 3) + (– 7)   =   (– 4)

(+3) – (–7)   =   (+ 3) + (+ 7)   =   (+10)

(–3) – (+7)   =   (– 3) + (– 7)   =    (–10)

(–3) – (–7)   =   (– 3) + (+ 7)   =    (+ 4)

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

El producto será igual al producto de los valores absolutos, y el signo del producto se regirá de acuerdo a la regla de los signos.

Regla de los signos

Donde sí multiplico números de igual signo, el producto será positivo y si multiplico números de diferentes signos el producto será negativo.

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
• Elemento neutro El producto entre cualquier entero a con 1, nos dará el número a: a × 1 = a.
• Propiedad distributiva Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos(a × b) + (a × c) son idénticos.

Recursos:

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
http://img.youtube.com/vi/rM7LxNBiMpE/0.jpg
https://tsaciana20mdi.files.wordpress.com/2007/03/suma-y-multiplica.jpg

NÚMEROS NATURALES

Introducción

En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar. Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar aparecieron los números naturales. 

Sin embargo, más tarde surgieron nuevos desafíos que no era posible resolver solo con este conjunto, así que fueron apareciendo nuevos tipos de números conformando otros conjuntos numéricos con más propiedades.

Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades. 

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas raciones diarias tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Actividades

Símbolo

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales.

Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto,

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta el infinito.

Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica, pero no se consideraba un número natural.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.

Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

•          El 1 es un número natural.1 está en ℕ, el conjunto de los números naturales. 
•          Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
•          El 1 no es el sucesor de algún número natural.
•          Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
•          Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Infinito

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito.

Operaciones Matemáticas

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la adición y la multiplicación.

Cuando realizamos operaciones con naturales, los resultados pueden ser o no números naturales. Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la adición y la multiplicación.

Adición    a + b = c

Los términos que intervienen en la adición son los siguientes:

a y b se denomina sumandos
el resultado c se denomina suma.

Multiplicación

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

Por ejemplo, la multiplicación 2 x 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.

     a x b = c

Los términos que intervienen en una multiplicación son los siguientes:

a y b se denomina factores
el resultado c se denomina producto

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa),

Adición: a + b = b + a                          Multiplicación: a × b = b × a

Para sumar o multiplicar tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica, como se verá con la propiedad asociativa.

Adición: (a + b) + c = a + (b + c)       Multiplicación: (a x b) x c = a x (b x c)

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura

Ambas operaciones para todos los números naturales a y b siempre tendrán como resultado otro número natural, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.

Existencia de elementos neutros

Para cada número a, en la adición será el 0 el neutro, mientras que en la multiplicación será el 1.

Adición: a + 0 = a                                                     Multiplicación:  a × 1 = a

Se puede también operar con la sustracción y la división pero las mismas no son cerradas en los Naturales.

Sustracción   a − b = c

Los términos que intervienen en una sustracción se denominan:

a minuendo, b sustraendo  y el resultado c se denomina diferencia.

La sustracción en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco es cerrada.

Observación: Solo podemos operar con la sustracción en naturales cuando tenemos certeza que el minuendo es mayor que el sustraendo.

División: D ¸ d = c

Los términos que intervienen en una división son los siguientes:

D se denomina dividendo, d se denomina divisor y el resultado c se denomina cociente, en caso de no ser exacta también estará el resto.

División exacta D ¸ d = c

División entera D ¸ d = c + r

La división en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco cerrada.

No se puede dividir entre 0, y cero dividido cualquier natural siempre es igual a 0.

Orden

En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros.  Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.

Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo "mayor que", >, de la siguiente manera: ubicamos el número mayor  al lado abierto del símbolo >, el menor lo ubicamos al otro lado.

También usamos el símbolo <, que es leído como "menor que".

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así:

a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.

Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:

a + c ≤ b + c

a × c ≤ b × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado.

Para cualquier elemento a del conjunto A existe b en A tal que a < b

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano

http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/1.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/2.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/3.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/4.do

FUNCIÓN LINEAL

Llamaremos función lineal a una función polinómica de primer grado; la cual se puede escribir como:

 f(x) = m x + b 

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. 

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0, las que serían de la forma:    f(x) = m x

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:     f(x) = m x + b  cuando b es distinto de cero.

Representación Gráfica: La representación gráfica de una Función Lineal es una recta

La cual cumple con ciertas características, por ejemplo para los valores de m:

esto está relacionado con la pendiente de la recta.

Pendiente: La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas (eje ox). La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

En la Función Lineal la pendiente estará dada por m, al cual se lo llama coeficiente angular, dado que 

m = tga

Recordando trigonometría, La tangente de ángulo es la razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto adyacente al ángulo. 

Definición de Raíz de una función: Llamaremos raíz de la función (o cero), a todo elemento x perteneciente al dominio de la función, tal que se cumpla: f(x) = 0 

d es raíz de f Û f (d) = 0

Función Estrictamente Creciente: Llamaremos función estrictamente creciente, a aquella función que para todo par de elementos de su dominio (uno menor a otro), cumple que la imagen del elemento mayor, es mayor a la imagen del elemento menor.-      "(a< b) Þ f(a) <  f(b).-

Función Estrictamente Decreciente: Llamaremos función estrictamente decreciente, a aquella función que para todo par de elementos de su dominio (uno menor a otro), cumple que la imagen del elemento menor, es mayor a la imagen del elemento mayor.-      "(a < b) Þ f(a) > f(b).-

En el caso de las funciones lineales nos limitaremos a decir que una función es creciente si su coeficiente angular es positivo (m > 0) y que es decreciente si su coeficiente angular es negativo (m < 0).- 

Corte con oy: Es el punto del plano de coordenadas (0, f(0)), es decir, que es el punto común de la gráfica y el eje oy, es el punto correspondiente a x = 0 en la función.

En las funciones lineales  f(x) = m x + b  el corte con el eje oy estará dado por b. 

cuando b = 0, el corte con oy será el origen de coordenadas. 

si b es distinto de 0, el corto con oy será en el punto (0,b). 

FUNCIÓN

Podemos encontrar maneras diferentes de definir que es una función, la definición que se adoptará para este curso es la siguiente.

“Llamaremos función a la relación que a cada elemento de un conjunto que llamaremos (dominio) le hace corresponder un único elemento en otro conjunto que llamaremos (codominio)”

Analizando la definición, tenemos que saber primero que nada que es una relación en matemática.

Relación Matemática: El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga (relaciona) dos o más objetos entre sí, se tiene una relación (no necesariamente matemática), ejemplo: 

Marcos es padre María. Esto quiere decir que en una "relación" Padre-hijo, a Marcos le va a corresponder María.

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Ejemplos de relación

A = {2,8,12}

B = {4,6,14}

La relación que existe entre A y B es "mayor que", por lo que los elementos de la relación serán:

{(12,4) (12,6) (8,4) (8,6)}

Ya tenemos claro que una relación matemática es un correspondencia entre elementos de dos conjuntos, a su vez, en la definición de función vemos que no se trata de una relación cualquiera; sino que cumple con dos requisitos.

1. Que todo elemento del primer conjunto (que llamaremos Dominio) tiene correspondiente en el segundo conjunto (llamado Codominio).
2. A su vez cada elemento del Dominio tiene un único correspondiente en el Codominio

http://www.matesfacil.com/funcion.htm

Aquí tenemos una representación de una función, podemos apreciar varias cosas:

• Todos los elementos del dominio tienen un único correspondiente en el codominio.
• No es necesario que todos los elementos del codominio sean la imagen de un elemento del dominio.
• Es posible que un mismo elemento del codominio le corresponda a varios elementos del dominio.

En la siguiente imagen podemos ver en que caso si tenemos representada una función y en cual no, tomando como dominio al primer conjunto y como codominio al segundo conjunto.

http://aprendiendomatematicasjuntos.blogspot.com/

Vemos que en el ejemplo c) el elemento a del Dominio no tiene un único correspondiente, es por eso que no es función.

http://aprendiendocongarces.blogspot.com/

En este otro ejemplo vemos que hay un elemento del Dominio (4) que no tiene correspondiente, por lo cual tampoco este diagrama representa una función.

Definiciones: 

Dominio: el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable x.

Notación: D

Se pueden expresar esos valores con notación de conjuntos (N, Z, Q, R, R+) o como intervalos ([0,10], [0,+¥), etc.). 

Imagen: Dada una función f : A → B, llamaremos Imagen de un elemento a del dominio, a aquel  elemento b del codominio que le corresponde, y se los expresará de la siguiente manera f(a).

Conjunto Imagen (Recorrido): Llamado también Recorrido o Rango. Es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio. 

Notación: Im

Debemos de interpretar que el Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio. Como vemos en la imagen anterior, en esa situación vemos que Im: {2,4,6} y que el Codominio es {2,4,6,8,10}.

Hay ocasiones en que el Codominio coincide con el Recorrido como en la siguiente imagen, pero no siempre sucede.

Grafo: El Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes. Al mismo lo podemos representar en un sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas:  Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. 

A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

VECTORES

SEGMENTO: Dados dos puntos A y B del plano, se llama segmento de extremos A y B al conjunto de puntos de la recta que pasa por A y B que se encuentran comprendidos entre ellos. Le llamaremos 

SEGMENTO ORIENTADO: Si tenemos un segmento  y establecemos un orden, es decir, identificamos cual de los puntos precede al otro, diremos que hemos orientado el segmento. Al primero de los puntos llamaremos ORIGEN (o punto de aplicación) y al último EXTREMO. (a un segmento orientado también se lo denomina vector fijo) y se lo representa poniéndole una flecha sobre las letras que lo representan .  Dado un segmento, existen dos posibles vectores fijos distintos  y . A la recta que contiene a los puntos A y B se la denomina recta directriz o de acción.

Dirección de un vector fijo: Llamaremos dirección de un vector fijo  a la dada por la recta que contiene a el segmento  o a cualquiera de sus paralelas.

Sentido de vectores fijos: El sentido de un vector fijo está dado por su ORIGEN y su EXTREMO, como se mencionó antes, dado un segmento , existen dos posibles vectores fijos distintos  y , donde el sentido del primero es de A hacia B y el del segundo es de B hacia A.

Módulo de un vector fijo: Se llama Módulo de un vector fijo  (se representa   ) al número real que representa la medida (longitud) del segmento  .

Vector nulo: A los vectores que tienen el origen coincidente con el extremo () diremos que tienen módulo cero, y que no tienen dirección ni sentido.

Vectores Equipolentes: Dos vectores fijos (que no sean nulos) son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.

(dos vectores nulos también se dice que son equipolentes)

Vectores libres del plano: Un vector libre del plano es un conjunto formado por infinitos vectores fijos equipolentes. Los vectores libres se denotan con letras minúsculas, por ejemplo . 

La gran ventaja de un vector libre es que podemos moverlo libremente por el plano, pues ahora ya no está sujeto a un origen y un extremo. Cada vez que lo movamos estaremos escogiendo un vector fijo distinto como representante del vector libre.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si un vector se encuentra en el plano se representa 
siendo sus componentes vx y vy ; la coordenada vx será igual al módulo del vector componente vx y la coordenada vy será igual al módulo del vector componente vy.

 

Siendo el vector la suma vectorial de sus vectores componentes:  

Suma de vectores.

Para sumar dos vectores libres  y  , debemos elegir dos vectores representantes tal que el origen del segundo vector coincida con el extremo del primero.
La suma de estos dos vectores será igual a otro vector, cuyo origen será el origen del primer vector, y el extremo será el extremo del segundo vector como se puede apreciar en la figura.

Este método es conocido como el Método de Chasles.

Existe otro método, al cual llamaremos Método del paralelogramo.

El cual consiste en tomar dos representantes de los vectores que vamos a sumar, tal que sus orígenes coincidan, luego por el extremo de cada vector se traza una paralela al otro vector, formando así un paralelogramo, la suma de los vectores será el vector con origen el punto de origen de ambos vectores (los cuales coinciden) y el extremo será el punto en donde se intersectan las paralelas que trazamos.

Vectores Opuestos: Los vectores opuestos son aquellos vectores que tienen igual dirección, igual módulo pero sentido opuesto.

                                          

Resta de vectores: Para restar dos vectores libres  y, debemos tomar un representante del vector  y sumarlo a un vector representante del opuesto del vector  . Este nuevo vector será el representante de la resta   - .

Multiplicación de un escalar por un vector: 

El resultado de la multiplicar un escalar k por un vector , es otro vector

• Con igual dirección que .
• Tendrá el mismo sentido que  si k es positivo, o tendrá sentido opuesto a  si k es negativo.
• El módulo será igual a  

Las coordenadas del nuevo vector, se obtienen de multiplicar k a las coordenadas del vector. Si , se cumple que   sería igual a 

Referencias: 
http://www.geoan.com/vectores/
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector