FUNCIÓN

Podemos encontrar maneras diferentes de definir que es una función, la definición que se adoptará para este curso es la siguiente.

“Llamaremos función a la relación que a cada elemento de un conjunto que llamaremos (dominio) le hace corresponder un único elemento en otro conjunto que llamaremos (codominio)”

Analizando la definición, tenemos que saber primero que nada que es una relación en matemática.

Relación Matemática: El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga (relaciona) dos o más objetos entre sí, se tiene una relación (no necesariamente matemática), ejemplo: 

Marcos es padre María. Esto quiere decir que en una "relación" Padre-hijo, a Marcos le va a corresponder María.

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Ejemplos de relación

A = {2,8,12}

B = {4,6,14}

La relación que existe entre A y B es "mayor que", por lo que los elementos de la relación serán:

{(12,4) (12,6) (8,4) (8,6)}

Ya tenemos claro que una relación matemática es un correspondencia entre elementos de dos conjuntos, a su vez, en la definición de función vemos que no se trata de una relación cualquiera; sino que cumple con dos requisitos.

1. Que todo elemento del primer conjunto (que llamaremos Dominio) tiene correspondiente en el segundo conjunto (llamado Codominio).
2. A su vez cada elemento del Dominio tiene un único correspondiente en el Codominio

http://www.matesfacil.com/funcion.htm

Aquí tenemos una representación de una función, podemos apreciar varias cosas:

• Todos los elementos del dominio tienen un único correspondiente en el codominio.
• No es necesario que todos los elementos del codominio sean la imagen de un elemento del dominio.
• Es posible que un mismo elemento del codominio le corresponda a varios elementos del dominio.

En la siguiente imagen podemos ver en que caso si tenemos representada una función y en cual no, tomando como dominio al primer conjunto y como codominio al segundo conjunto.

http://aprendiendomatematicasjuntos.blogspot.com/

Vemos que en el ejemplo c) el elemento a del Dominio no tiene un único correspondiente, es por eso que no es función.

http://aprendiendocongarces.blogspot.com/

En este otro ejemplo vemos que hay un elemento del Dominio (4) que no tiene correspondiente, por lo cual tampoco este diagrama representa una función.

Definiciones: 

Dominio: el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable x.

Notación: D

Se pueden expresar esos valores con notación de conjuntos (N, Z, Q, R, R+) o como intervalos ([0,10], [0,+¥), etc.). 

Imagen: Dada una función f : A → B, llamaremos Imagen de un elemento a del dominio, a aquel  elemento b del codominio que le corresponde, y se los expresará de la siguiente manera f(a).

Conjunto Imagen (Recorrido): Llamado también Recorrido o Rango. Es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio. 

Notación: Im

Debemos de interpretar que el Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio. Como vemos en la imagen anterior, en esa situación vemos que Im: {2,4,6} y que el Codominio es {2,4,6,8,10}.

Hay ocasiones en que el Codominio coincide con el Recorrido como en la siguiente imagen, pero no siempre sucede.

Grafo: El Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes. Al mismo lo podemos representar en un sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas:  Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. 

A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.