NÚMEROS ENTEROS

Considerando los números naturales, en los cuales vimos que la adición y la multiplicación eran operaciones cerradas en los naturales, esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos números Naturales, el resultado será otro número Natural. 

Es que vimos que la sustracción no era cerrada,  ya que por ejemplo 4 – 9 no tiene solución en los Naturales. 

Es por esto que se llegó a conformar un conjunto numérico en el cual si, sustracciones como la anterior tuvieran solución, es así que llegamos al conjunto numérico de los Enteros.

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano trabajaron con ellos en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. 

Los Enteros también llamados números con signos, ya que a estos les antecederá un signo, serán, los naturales exceptuando el 0 tendrán delante un signo de (+);  y los nuevos elementos que aparecerán serán los naturales con un signo de (–) delante. 

Los que tienen un signo positivo delante serán llamados Enteros Positivos, y los que tienen un signo negativo serán llamados Enteros Negativos. 

Es así entonces que el Conjunto de los Enteros, a quienes simbolizaremos con la letra Z estarán formados por los Enteros Positivos (Z⁺), los Enteros Negativos (Z^-)  y el 0.

Z: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Enteros en la Recta Numérica

Para hablar de orden y de operaciones en los Enteros, primero deberemos definir Valor Absoluto de un número.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplo: |– 9| = 9 |15| = 15 |0| = 0.

Propiedades Fundamentales

Orden

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». 

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Adición

Cuando sumamos dos enteros de igual signo, el resultado será igual a la suma de los valores absoluto de los sumandos y se mantendrá el signo.

Ejemplo:   (+3) + (+7) = (+10) (– 3) + (– 2) = (–5)

Cuando sumamos dos enteros de signo distinto, el resultado será igual a la diferencia de los valores absoluto de los sumandos y llevará el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo:   (+3) + (–7) = (–4) (+ 3) + (– 2) = (+1)

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, las sumas a + (b + c) y (a + b) + c son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
• Elemento neutro La suma entre cualquier entero a con cero, nos dará el número a: a + 0 = a. 
• Elemento opuesto Para cada número entero a, existe otro entero simbolizado como −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Sustracción

Para restar dos números enteros, lo que se hace es sumarle al minuendo el opuesto del sustraendo. 

De esta manera transformamos la sustracción en una adición y podemos aplicar las reglas que vimos anteriormente.

Ejemplos: 

(+3) – (+7)   =   (+ 3) + (– 7)   =   (– 4)

(+3) – (–7)   =   (+ 3) + (+ 7)   =   (+10)

(–3) – (+7)   =   (– 3) + (– 7)   =    (–10)

(–3) – (–7)   =   (– 3) + (+ 7)   =    (+ 4)

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

El producto será igual al producto de los valores absolutos, y el signo del producto se regirá de acuerdo a la regla de los signos.

Regla de los signos

Donde sí multiplico números de igual signo, el producto será positivo y si multiplico números de diferentes signos el producto será negativo.

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
• Elemento neutro El producto entre cualquier entero a con 1, nos dará el número a: a × 1 = a.
• Propiedad distributiva Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos(a × b) + (a × c) son idénticos.

Recursos:

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
http://img.youtube.com/vi/rM7LxNBiMpE/0.jpg
https://tsaciana20mdi.files.wordpress.com/2007/03/suma-y-multiplica.jpg

NÚMEROS NATURALES

Introducción

En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar. Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar aparecieron los números naturales. 

Sin embargo, más tarde surgieron nuevos desafíos que no era posible resolver solo con este conjunto, así que fueron apareciendo nuevos tipos de números conformando otros conjuntos numéricos con más propiedades.

Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades. 

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas raciones diarias tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Actividades

Símbolo

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales.

Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto,

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta el infinito.

Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica, pero no se consideraba un número natural.

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.

Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

•          El 1 es un número natural.1 está en ℕ, el conjunto de los números naturales. 
•          Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
•          El 1 no es el sucesor de algún número natural.
•          Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
•          Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Infinito

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito.

Operaciones Matemáticas

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la adición y la multiplicación.

Cuando realizamos operaciones con naturales, los resultados pueden ser o no números naturales. Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la adición y la multiplicación.

Adición    a + b = c

Los términos que intervienen en la adición son los siguientes:

a y b se denomina sumandos
el resultado c se denomina suma.

Multiplicación

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

Por ejemplo, la multiplicación 2 x 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.

     a x b = c

Los términos que intervienen en una multiplicación son los siguientes:

a y b se denomina factores
el resultado c se denomina producto

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa),

Adición: a + b = b + a                          Multiplicación: a × b = b × a

Para sumar o multiplicar tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica, como se verá con la propiedad asociativa.

Adición: (a + b) + c = a + (b + c)       Multiplicación: (a x b) x c = a x (b x c)

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura

Ambas operaciones para todos los números naturales a y b siempre tendrán como resultado otro número natural, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.

Existencia de elementos neutros

Para cada número a, en la adición será el 0 el neutro, mientras que en la multiplicación será el 1.

Adición: a + 0 = a                                                     Multiplicación:  a × 1 = a

Se puede también operar con la sustracción y la división pero las mismas no son cerradas en los Naturales.

Sustracción   a − b = c

Los términos que intervienen en una sustracción se denominan:

a minuendo, b sustraendo  y el resultado c se denomina diferencia.

La sustracción en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco es cerrada.

Observación: Solo podemos operar con la sustracción en naturales cuando tenemos certeza que el minuendo es mayor que el sustraendo.

División: D ¸ d = c

Los términos que intervienen en una división son los siguientes:

D se denomina dividendo, d se denomina divisor y el resultado c se denomina cociente, en caso de no ser exacta también estará el resto.

División exacta D ¸ d = c

División entera D ¸ d = c + r

La división en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco cerrada.

No se puede dividir entre 0, y cero dividido cualquier natural siempre es igual a 0.

Orden

En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros.  Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.

Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo "mayor que", >, de la siguiente manera: ubicamos el número mayor  al lado abierto del símbolo >, el menor lo ubicamos al otro lado.

También usamos el símbolo <, que es leído como "menor que".

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así:

a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.

Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:

a + c ≤ b + c

a × c ≤ b × c

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado.

Para cualquier elemento a del conjunto A existe b en A tal que a < b

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano

http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/1.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/2.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/3.do

http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_numeros/los_numeros_naturales/4.do