NÚMEROS ENTEROS

Considerando los números naturales, en los cuales vimos que la adición y la multiplicación eran operaciones cerradas en los naturales, esto quiere decir que si sumamos o multiplicamos números Naturales, el resultado será otro número Natural. 

Es que vimos que la sustracción no era cerrada,  ya que por ejemplo 4 – 9 no tiene solución en los Naturales. 

Es por esto que se llegó a conformar un conjunto numérico en el cual si, sustracciones como la anterior tuvieran solución, es así que llegamos al conjunto numérico de los Enteros.

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano trabajaron con ellos en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. 

Los Enteros también llamados números con signos, ya que a estos les antecederá un signo, serán, los naturales exceptuando el 0 tendrán delante un signo de (+);  y los nuevos elementos que aparecerán serán los naturales con un signo de (–) delante. 

Los que tienen un signo positivo delante serán llamados Enteros Positivos, y los que tienen un signo negativo serán llamados Enteros Negativos. 

Es así entonces que el Conjunto de los Enteros, a quienes simbolizaremos con la letra Z estarán formados por los Enteros Positivos (Z⁺), los Enteros Negativos (Z^-)  y el 0.

Z: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Enteros en la Recta Numérica

Para hablar de orden y de operaciones en los Enteros, primero deberemos definir Valor Absoluto de un número.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «||».

Ejemplo: |– 9| = 9 |15| = 15 |0| = 0.

Propiedades Fundamentales

Orden

El orden de los números enteros se define como:

Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».

• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». 

El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Adición

Cuando sumamos dos enteros de igual signo, el resultado será igual a la suma de los valores absoluto de los sumandos y se mantendrá el signo.

Ejemplo:   (+3) + (+7) = (+10) (– 3) + (– 2) = (–5)

Cuando sumamos dos enteros de signo distinto, el resultado será igual a la diferencia de los valores absoluto de los sumandos y llevará el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo:   (+3) + (–7) = (–4) (+ 3) + (– 2) = (+1)

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, las sumas a + (b + c) y (a + b) + c son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
• Elemento neutro La suma entre cualquier entero a con cero, nos dará el número a: a + 0 = a. 
• Elemento opuesto Para cada número entero a, existe otro entero simbolizado como −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Sustracción

Para restar dos números enteros, lo que se hace es sumarle al minuendo el opuesto del sustraendo. 

De esta manera transformamos la sustracción en una adición y podemos aplicar las reglas que vimos anteriormente.

Ejemplos: 

(+3) – (+7)   =   (+ 3) + (– 7)   =   (– 4)

(+3) – (–7)   =   (+ 3) + (+ 7)   =   (+10)

(–3) – (+7)   =   (– 3) + (– 7)   =    (–10)

(–3) – (–7)   =   (– 3) + (+ 7)   =    (+ 4)

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

El producto será igual al producto de los valores absolutos, y el signo del producto se regirá de acuerdo a la regla de los signos.

Regla de los signos

Donde sí multiplico números de igual signo, el producto será positivo y si multiplico números de diferentes signos el producto será negativo.

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
• Elemento neutro El producto entre cualquier entero a con 1, nos dará el número a: a × 1 = a.
• Propiedad distributiva Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos(a × b) + (a × c) son idénticos.

Recursos:

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
http://img.youtube.com/vi/rM7LxNBiMpE/0.jpg
https://tsaciana20mdi.files.wordpress.com/2007/03/suma-y-multiplica.jpg