En
matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar. Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar aparecieron los números
naturales.
Sin
embargo, más tarde surgieron nuevos desafíos que no era posible resolver solo
con este conjunto, así que fueron apareciendo nuevos tipos de números
conformando otros conjuntos numéricos con más propiedades.
Para
negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las
cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí
surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades.
Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales.
Por
ejemplo, si alguien sabía cuántas raciones diarias tenía, podría establecer del
mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.
A
partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números
naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones
debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el
tratamiento de las cantidades.
Símbolo
Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales.
Por
definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto,
ℕ = {0, 1, 2, 3,
4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta
el infinito.
Históricamente,
el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la
conquista musulmana de la península ibérica, pero no se consideraba un número
natural.
Sin
embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero
se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.
Historia
Antes
de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre
usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras,
palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante
comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por
ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.
Los
cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
- El 1 es un número natural.1 está en ℕ, el conjunto de los números naturales.
- Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
- El 1 no es el sucesor de algún número natural.
- Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
- Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.
Infinito
¿Te
has preguntado cuál es el último número natural? No hay, sencillamente no
existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que
pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no
terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito.
Operaciones
Matemáticas
Las
operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales
son la adición y la multiplicación.
Cuando
realizamos operaciones con naturales, los resultados pueden ser o no números
naturales. Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro
número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando
restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural,
lo mismo ocurre con la división.
Debido
a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo
dos operaciones: la adición y la multiplicación.
Bibliografía
Adición a + b
= c
Los
términos que intervienen en la adición son los siguientes:
a
y b se denomina sumandos
el resultado c se denomina suma.
el resultado c se denomina suma.
Multiplicación
Multiplicar
dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo
tantas veces como indica el otro factor.
Por
ejemplo, la multiplicación 2 x 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.
a x b = c
Los
términos que intervienen en una multiplicación son los siguientes:
a
y b se denomina factores
el resultado c se denomina producto
el resultado c se denomina producto
La
suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y
asociativas, es decir:
El
orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa),
Adición:
a + b = b + a Multiplicación:
a × b = b × a
Para
sumar o multiplicar tres o más números naturales, no hace falta agrupar los
números de una manera específica, como se verá con la propiedad asociativa.
Adición:
(a + b) + c = a + (b + c) Multiplicación: (a x b)
x c = a x (b x c)
Al
construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede
observar claramente que la adición y la multiplicación son operaciones
compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y
gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva,
que se expresa de la forma:
a
× (b + c) = (a × b) + (a × c)
Aparte,
estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
Clausura
Ambas
operaciones para todos los números naturales a y b siempre tendrán como resultado otro número natural, ya que a + b y a × b son
siempre números naturales.
Existencia
de elementos neutros
Para
cada número a, en la adición será el 0 el neutro, mientras que en la multiplicación será el 1.
Adición:
a + 0 = a Multiplicación:
a × 1 = a
Se
puede también operar con la sustracción y la división pero las mismas no son
cerradas en los Naturales.
Sustracción a − b = c
Los
términos que intervienen en una sustracción se denominan:
a minuendo, b sustraendo
y el resultado c se denomina diferencia.
La
sustracción en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco es cerrada.
Observación: Solo podemos operar con la sustracción en naturales cuando tenemos certeza que el minuendo es mayor que el sustraendo.
Observación: Solo podemos operar con la sustracción en naturales cuando tenemos certeza que el minuendo es mayor que el sustraendo.
División: D ¸ d = c
Los
términos que intervienen en una división son los siguientes:
D
se denomina dividendo, d se denomina divisor y el resultado c se denomina
cociente, en caso de no ser exacta también estará el resto.
División
exacta D ¸ d
= c
División
entera D ¸ d
= c + r
La
división en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco cerrada.
No
se puede dividir entre 0, y cero dividido cualquier natural siempre es igual a
0.
Orden
En su función de representar cantidades, existen
unos números naturales que representan más que otros. Decimos entonces
que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.
Para
representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo "mayor
que", >, de la siguiente manera:
ubicamos el número mayor al lado abierto del símbolo >, el menor
lo ubicamos al otro lado.
También
usamos el símbolo <, que es leído como "menor que".
Los
números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede
redefinir así:
a
≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.
Este
orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y
c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a
+ c ≤ b + c
a
× c ≤ b × c
Una
propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un
conjunto bien ordenado.
Para
cualquier elemento a del conjunto A existe b en A tal que a < b
Representación
de los números naturales
Los números
naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre
una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
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