sábado, 2 de abril de 2016

NÚMEROS NATURALES



Introducción
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar. Cuando el hombre tuvo la necesidad de contar aparecieron los números naturales. 
Sin embargo, más tarde surgieron nuevos desafíos que no era posible resolver solo con este conjunto, así que fueron apareciendo nuevos tipos de números conformando otros conjuntos numéricos con más propiedades.
Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades. 


Por ejemplo, si alguien sabía cuántas raciones diarias tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.
A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.



Símbolo

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra  para representar el conjunto de los números naturales.
Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto,
= {0, 1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del cero y prosigue hasta el infinito.
Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana de la península ibérica, pero no se consideraba un número natural.
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.

Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena.
Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:
  •          El 1 es un número natural.1 está en , el conjunto de los números naturales. 
  •          Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
  •          El 1 no es el sucesor de algún número natural.
  •          Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
  •          Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.


Infinito

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no terminan nunca, decimos que  es un conjunto infinito.

Operaciones Matemáticas

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la adición y la multiplicación.
Cuando realizamos operaciones con naturales, los resultados pueden ser o no números naturales. Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.
Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la adición y la multiplicación.


Adición    a + b = c

Los términos que intervienen en la adición son los siguientes:
a y b se denomina sumandos
el resultado c se denomina suma.

Multiplicación

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
Por ejemplo, la multiplicación 2 x 5 consiste en sumar el número 2 cinco veces.
     a x b = c

Los términos que intervienen en una multiplicación son los siguientes:
a y b se denomina factores
el resultado c se denomina producto

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa),

Adición: a + b = b + a                          Multiplicación: a × b = b × a

Para sumar o multiplicar tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica, como se verá con la propiedad asociativa.

Adición: (a + b) + c = a + (b + c)       Multiplicación: (a x b) x c = a x (b x c)

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura

Ambas operaciones para todos los números naturales a y b siempre tendrán como resultado otro número natural, ya que a + b y a × b son siempre números naturales.

Existencia de elementos neutros

Para cada número a, en la adición será el 0 el neutro, mientras que en la multiplicación será el 1.

Adición: a + 0 = a                                                     Multiplicación:  a × 1 = a

Se puede también operar con la sustracción y la división pero las mismas no son cerradas en los Naturales.

Sustracción   a − b = c

Los términos que intervienen en una sustracción se denominan:
a minuendo, b sustraendo  y el resultado c se denomina diferencia.
La sustracción en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco es cerrada.

Observación: Solo podemos operar con la sustracción en naturales cuando tenemos certeza que el minuendo es mayor que el sustraendo.

División: D ¸ d = c

Los términos que intervienen en una división son los siguientes:
D se denomina dividendo, d se denomina divisor y el resultado c se denomina cociente, en caso de no ser exacta también estará el resto.
División exacta D ¸ d = c
División entera D ¸ d = c + r
La división en Naturales no es asociativa ni conmutativa, tampoco cerrada.

No se puede dividir entre 0, y cero dividido cualquier natural siempre es igual a 0.

Orden

En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros.  Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.
Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo "mayor que", >, de la siguiente manera: ubicamos el número mayor  al lado abierto del símbolo >, el menor lo ubicamos al otro lado.
También usamos el símbolo <, que es leído como "menor que".
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así:
a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.
Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado.

Para cualquier elemento a del conjunto A existe b en A tal que a < b


Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).
A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...






Bibliografía

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