FUNCIÓN LINEAL

Llamaremos función lineal a una función polinómica de primer grado; la cual se puede escribir como:

 f(x) = m x + b 

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. 

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0, las que serían de la forma:    f(x) = m x

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:     f(x) = m x + b  cuando b es distinto de cero.

Representación Gráfica: La representación gráfica de una Función Lineal es una recta

La cual cumple con ciertas características, por ejemplo para los valores de m:

esto está relacionado con la pendiente de la recta.

Pendiente: La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas (eje ox). La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

En la Función Lineal la pendiente estará dada por m, al cual se lo llama coeficiente angular, dado que 

m = tga

Recordando trigonometría, La tangente de ángulo es la razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto adyacente al ángulo. 

Definición de Raíz de una función: Llamaremos raíz de la función (o cero), a todo elemento x perteneciente al dominio de la función, tal que se cumpla: f(x) = 0 

d es raíz de f Û f (d) = 0

Función Estrictamente Creciente: Llamaremos función estrictamente creciente, a aquella función que para todo par de elementos de su dominio (uno menor a otro), cumple que la imagen del elemento mayor, es mayor a la imagen del elemento menor.-      "(a< b) Þ f(a) <  f(b).-

Función Estrictamente Decreciente: Llamaremos función estrictamente decreciente, a aquella función que para todo par de elementos de su dominio (uno menor a otro), cumple que la imagen del elemento menor, es mayor a la imagen del elemento mayor.-      "(a < b) Þ f(a) > f(b).-

En el caso de las funciones lineales nos limitaremos a decir que una función es creciente si su coeficiente angular es positivo (m > 0) y que es decreciente si su coeficiente angular es negativo (m < 0).- 

Corte con oy: Es el punto del plano de coordenadas (0, f(0)), es decir, que es el punto común de la gráfica y el eje oy, es el punto correspondiente a x = 0 en la función.

En las funciones lineales  f(x) = m x + b  el corte con el eje oy estará dado por b. 

cuando b = 0, el corte con oy será el origen de coordenadas. 

si b es distinto de 0, el corto con oy será en el punto (0,b). 

FUNCIÓN

Podemos encontrar maneras diferentes de definir que es una función, la definición que se adoptará para este curso es la siguiente.

“Llamaremos función a la relación que a cada elemento de un conjunto que llamaremos (dominio) le hace corresponder un único elemento en otro conjunto que llamaremos (codominio)”

Analizando la definición, tenemos que saber primero que nada que es una relación en matemática.

Relación Matemática: El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga (relaciona) dos o más objetos entre sí, se tiene una relación (no necesariamente matemática), ejemplo: 

Marcos es padre María. Esto quiere decir que en una "relación" Padre-hijo, a Marcos le va a corresponder María.

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Ejemplos de relación

A = {2,8,12}

B = {4,6,14}

La relación que existe entre A y B es "mayor que", por lo que los elementos de la relación serán:

{(12,4) (12,6) (8,4) (8,6)}

Ya tenemos claro que una relación matemática es un correspondencia entre elementos de dos conjuntos, a su vez, en la definición de función vemos que no se trata de una relación cualquiera; sino que cumple con dos requisitos.

1. Que todo elemento del primer conjunto (que llamaremos Dominio) tiene correspondiente en el segundo conjunto (llamado Codominio).
2. A su vez cada elemento del Dominio tiene un único correspondiente en el Codominio

http://www.matesfacil.com/funcion.htm

Aquí tenemos una representación de una función, podemos apreciar varias cosas:

• Todos los elementos del dominio tienen un único correspondiente en el codominio.
• No es necesario que todos los elementos del codominio sean la imagen de un elemento del dominio.
• Es posible que un mismo elemento del codominio le corresponda a varios elementos del dominio.

En la siguiente imagen podemos ver en que caso si tenemos representada una función y en cual no, tomando como dominio al primer conjunto y como codominio al segundo conjunto.

http://aprendiendomatematicasjuntos.blogspot.com/

Vemos que en el ejemplo c) el elemento a del Dominio no tiene un único correspondiente, es por eso que no es función.

http://aprendiendocongarces.blogspot.com/

En este otro ejemplo vemos que hay un elemento del Dominio (4) que no tiene correspondiente, por lo cual tampoco este diagrama representa una función.

Definiciones: 

Dominio: el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable x.

Notación: D

Se pueden expresar esos valores con notación de conjuntos (N, Z, Q, R, R+) o como intervalos ([0,10], [0,+¥), etc.). 

Imagen: Dada una función f : A → B, llamaremos Imagen de un elemento a del dominio, a aquel  elemento b del codominio que le corresponde, y se los expresará de la siguiente manera f(a).

Conjunto Imagen (Recorrido): Llamado también Recorrido o Rango. Es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio. 

Notación: Im

Debemos de interpretar que el Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio. Como vemos en la imagen anterior, en esa situación vemos que Im: {2,4,6} y que el Codominio es {2,4,6,8,10}.

Hay ocasiones en que el Codominio coincide con el Recorrido como en la siguiente imagen, pero no siempre sucede.

Grafo: El Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes. Al mismo lo podemos representar en un sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas:  Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. 

A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

VECTORES

SEGMENTO: Dados dos puntos A y B del plano, se llama segmento de extremos A y B al conjunto de puntos de la recta que pasa por A y B que se encuentran comprendidos entre ellos. Le llamaremos 

SEGMENTO ORIENTADO: Si tenemos un segmento  y establecemos un orden, es decir, identificamos cual de los puntos precede al otro, diremos que hemos orientado el segmento. Al primero de los puntos llamaremos ORIGEN (o punto de aplicación) y al último EXTREMO. (a un segmento orientado también se lo denomina vector fijo) y se lo representa poniéndole una flecha sobre las letras que lo representan .  Dado un segmento, existen dos posibles vectores fijos distintos  y . A la recta que contiene a los puntos A y B se la denomina recta directriz o de acción.

Dirección de un vector fijo: Llamaremos dirección de un vector fijo  a la dada por la recta que contiene a el segmento  o a cualquiera de sus paralelas.

Sentido de vectores fijos: El sentido de un vector fijo está dado por su ORIGEN y su EXTREMO, como se mencionó antes, dado un segmento , existen dos posibles vectores fijos distintos  y , donde el sentido del primero es de A hacia B y el del segundo es de B hacia A.

Módulo de un vector fijo: Se llama Módulo de un vector fijo  (se representa   ) al número real que representa la medida (longitud) del segmento  .

Vector nulo: A los vectores que tienen el origen coincidente con el extremo () diremos que tienen módulo cero, y que no tienen dirección ni sentido.

Vectores Equipolentes: Dos vectores fijos (que no sean nulos) son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.

(dos vectores nulos también se dice que son equipolentes)

Vectores libres del plano: Un vector libre del plano es un conjunto formado por infinitos vectores fijos equipolentes. Los vectores libres se denotan con letras minúsculas, por ejemplo . 

La gran ventaja de un vector libre es que podemos moverlo libremente por el plano, pues ahora ya no está sujeto a un origen y un extremo. Cada vez que lo movamos estaremos escogiendo un vector fijo distinto como representante del vector libre.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si un vector se encuentra en el plano se representa 
siendo sus componentes vx y vy ; la coordenada vx será igual al módulo del vector componente vx y la coordenada vy será igual al módulo del vector componente vy.

 

Siendo el vector la suma vectorial de sus vectores componentes:  

Suma de vectores.

Para sumar dos vectores libres  y  , debemos elegir dos vectores representantes tal que el origen del segundo vector coincida con el extremo del primero.
La suma de estos dos vectores será igual a otro vector, cuyo origen será el origen del primer vector, y el extremo será el extremo del segundo vector como se puede apreciar en la figura.

Este método es conocido como el Método de Chasles.

Existe otro método, al cual llamaremos Método del paralelogramo.

El cual consiste en tomar dos representantes de los vectores que vamos a sumar, tal que sus orígenes coincidan, luego por el extremo de cada vector se traza una paralela al otro vector, formando así un paralelogramo, la suma de los vectores será el vector con origen el punto de origen de ambos vectores (los cuales coinciden) y el extremo será el punto en donde se intersectan las paralelas que trazamos.

Vectores Opuestos: Los vectores opuestos son aquellos vectores que tienen igual dirección, igual módulo pero sentido opuesto.

                                          

Resta de vectores: Para restar dos vectores libres  y, debemos tomar un representante del vector  y sumarlo a un vector representante del opuesto del vector  . Este nuevo vector será el representante de la resta   - .

Multiplicación de un escalar por un vector: 

El resultado de la multiplicar un escalar k por un vector , es otro vector

• Con igual dirección que .
• Tendrá el mismo sentido que  si k es positivo, o tendrá sentido opuesto a  si k es negativo.
• El módulo será igual a  

Las coordenadas del nuevo vector, se obtienen de multiplicar k a las coordenadas del vector. Si , se cumple que   sería igual a 

Referencias: 
http://www.geoan.com/vectores/
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector